Afleiding hgv

Dit stukje leunt zwaar op Wiskunde B, en het zou zomaar onoverzichtelijk kunnen worden omdat het onderscheid tussen natuurkunde en wiskunde nauwelijks wordt gemaakt.

Maar goed, no pain, no gain. Daar gaan we!

Om de dichtheid als variabele te kunnen beschouwen wordt vergelijking 6.1 dus herschreven als:

    \[ \Delta p = - \rho_{lucht} \cdot g \cdot \Delta h \]

De reden daarachter is als volgt. Het drukverschil tussen de bovenkant en de onderkant van een denkbeeldig blok lucht met hoogte \Delta h is

    \[\Delta p = p_{bovenkant} - p_{onderkant\]

    \[\Delta p =\rho_{lucht} \cdot g \cdot \Delta h - \rho_{lucht} \cdot g \cdot (h+\Delta h)\]

Uitvermenigvuldigd:

    \[\Delta p =\rho_{lucht} \cdot g \cdot h - \rho_{lucht} \cdot g \cdot h - \rho_{lucht} \cdot g \cdot \Delta h\]

    \[\Leftrightarrow \Delta p =-\rho_{lucht} \cdot g \cdot \Delta h\]

We werken dus eigenlijk nog steeds met vergelijking 6.1. Die is een goede benadering voor kleine hoogtes. Als we dus heel veel kleine hoogtes bij elkaar optellen, en telkens opnieuw de nieuwe druk en de nieuwe dichtheid berekenen komen we bij een zo nauwkeurig mogelijke benadering van de echte luchtdruk.

Het wiskundige equivalent daarvan wordt de integraal genoemd. Om die op te kunnen stellen wordt de \Delta veranderd in d. Deze verandering geeft aan dat we niet te maken hebben met een meetbare verandering \Delta, maar met een oneindig kleine verandering d.

Aan de hand van de algemene gaswet (\frac {p \cdot V} T = n \cdot R) kan de dichtheid afhankelijk worden gemaakt van zowel druk als de temperatuur.

    \[\rho_{lucht} = \frac {p \cdot M_{lucht}} {R \cdot T} \]

Dus voor de verandering in luchtdruk geldt

    \[\Delta p =- {\frac {p \cdot M_{lucht}} {R \cdot T} } \cdot g \cdot \Delta h\]

In “integraal vorm” (bij gebrek aan een beter woord):

    \[dp =- {\frac {p \cdot M_{lucht}} {R \cdot T} } \cdot g \cdot dh\]

Verder uitgewerkt:

    \[ \int \frac 1 p dp = - {\frac {p \cdot M_{lucht}} {R \cdot T} } \cdot g \int dh\]

Het oplossen van deze integraal gaat als volgt. Voor ons leesplezier is het wellicht verstandig om de term \frac {g \cdot M_{lucht}} {R \cdot T} te vervangen door de letter k

    \[ \int \frac 1 p = -k \int h\]

    \[ e^{\ln p} = e^{-k \cdot h}\]

    \[p = e^{-k \cdot h} \]

Gelukt. 🙂