5. De hydrostatische grondvergelijking

De hydrostatische grondvergelijking (hier even afgekort als HGV) beschrijft het verloop van druk in vloeistoffen en gassen. Om tot de HGV te komen bekijken we eerst een eenvoudige benadering over druk. Deze benadering heeft enkele aannames die niet helemaal kloppen met de realiteit, maar het is een mooie opzet om tot een complete beschrijving te komen.

Dus, daar gaat ie.

Benadering van atmosferische druk

Zie hiernaast een blokje materiaal met een gewicht van G en een grondoppervlak A. De druk op het grondvlak is dus G / A (bijvoorbeeld: G= 10 N en A = 1 m2; de druk P = 10 N/m2).

Als daar een tweede blokje op wordt gezet met dezelfde afmetingen en gewicht wordt de druk twee maal zo groot. Op hetzelfde grondvlak werkt nu namelijk 2 maal zoveel gewicht.

Wiskundig beschreven is dat als volgt.

\begin{equation} P = \frac G A \end(equation)(1 blokje)

\begin{equation} 2 \cdot \frac G A = 2 \cdot P \end(equation) (2 blokjes)

Een formelere (officiëlere) uitbreiding hierop is als volgt:

    \[p = \frac {G_{lucht}} A \]

het gewicht G is te berekenen als

    \[G = m \cdot g\]

,
En de massa m volgt uit de dichtheid van lucht:

    \[m_{lucht}= \rho_{lucht} \cdot V\]

Alles samen levert dat

    \[ \Leftrightarrow p = \frac {\rho_{lucht} \cdot V \cdot g} A\]

Door het volume te schrijven als het product van oppervlakte en hoogte (A \cdot h) verdwijnt de oppervlakte A uit de vergelijking:

    \[ p = \frac {\rho_{lucht} \cdot A \cdot h \cdot g} A\]

\Leftrightarrow p = {\rho_{lucht} \cdot g \cdot h (vergelijking 6.1).

Voor kleinere hoogtes is vergelijking 6.1 een prima benadering van de luchtdruk. Dat reden daarachter is dat de dichtheid van de lucht nauwelijks verandert over kleinere hoogtes. In deze context wordt de dichtheid dus beschouwd als een constante.

Luchtdruk volgens de Hydrostatische GrondVergelijking

Maar…. De dichtheid van de atmosfeer blijft niet gelijk! Omdat op een denkbeeldig volume dichtbij het aardoppervlak meer gewicht rust worden de moleculen dichter opeen geduwd. De luchtdichtheid is dus groter nabij het aardoppervlak!

De complete afleiding van de HGV vind je op deze aparte pagina.

De HGV is een exacte beschrijving van de druk van iedere kolom gas, in dit specifieke geval voor lucht (vandaar de term M_lucht).

    \[p_h = p_{h=0} \cdot e^{-{\frac {g \cdot M_{lucht}} {R \cdot T} \cdot h}\]

het belangrijkste is dat de term e^{-{\frac {g \cdot M_{lucht}} {R \cdot T} \cdot h} een vermenigvuldigingsfactor voorstelt. Als dit een constante waarde was geweest was er sprake van een rechtevenredig verband:

    \[p_h = p_{h=0} \cdot {constante}\]

Een tweemaal zo grote constante levert dan een tweemaal zo grote druk.

Door gebruik te maken van de term e^{-{\frac {g \cdot M_{lucht}} {R \cdot T} \cdot h} is dit geen constante meer, maar is hij afhankelijk geworden van omstandigheden als hoogte en temperatuur.