3. De wet van archimedes

Archimedes volgens Fetti (1620)

Archimedes was één van de grootste wiskundigen uit de oudheid. Daarnaast stond hij in de straten van Syracuse bekend als naaktloper. Tegenwoordig kennen we nog steeds een heel aantal voorwerpen en toepassingen die zijn naam dragen.

Voor ons is op dit moment het idee van de Wet van Archimedes relevant:

De opwaartse kracht die een lichaam in een vloeistof of gas ondervindt is even groot als het gewicht van de verplaatste vloeistof of gas.

Bijvoorbeeld.

Een kubusvormig blok hout met een volume V_{hout} en dichtheid \rho_{hout} drijft in een hoeveelheid water. Dit blok heeft dan een gewicht van

    \[F_z = \rho_{hout} \cdot V_{hout} \cdot g \]

Waarbij de term \rho \cdot V gelijk is aan de massa van het hout.

Het blok drijft omdat het volume van het blok dat onder water steekt het water daar verdreven heeft. Het gewicht van het verplaatste water is gelijk aan de opwaartse kracht.

Hoe diep steekt het blok in het water?

Om hier wat dieper in te duiken is het wijs om even na te gaan hoe diep het blok in het water steekt; dit is namelijk verbonden aan het verplaatste volume.

Als het blok te water wordt gelaten verplaatst het blok nog niet genoeg water om de opwaartse kracht in evenwicht te brengen met het gewicht. Het blok zal dus dieper het water in zakken en water blijven verplaatsen.

De situatie komt in evenwicht op het moment dat de opwaartse kracht (het gewicht van het verplaatste water) gelijk is aan de neerwaartse kracht (gewicht van het blok). In algemene termen is dus de volgende vergelijking op te schrijven.

(1)   \begin{equation*}F_z = F_{opwaarts} \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} \rho_{hout} \cdot V_{hout} \cdot g = \[\rho_{water} \cdot V_{water} \cdot g         \end{equation*}

Door het slim aan te pakken is nu de hoogte af te leiden van het stuk van het blok dat in het water steekt. Het volume van het verplaatste water is immers gelijk aan het deel van het blok dat zich onder het wateroppervlak bevindt.

Voor ons gemak is hier de hoogte van het deel onder water how genoemd, en is de lengte en de breedte van het blok samengevoegd als oppervlakte A.

    \[V_{water} = A_{blok} \cdot h_{ow} \]

Uitgewerkt in de eerdere vergelijking (2) wordt dat;

    \[\rho_{hout} \cdot A_{blok} \cdot h_{blok} \cdot g = \[\rho_{water} \cdot A_{blok} \cdot h_{ow} \cdot g\]

.
Door links en rechts slim weg te strepen kom je uiteindelijk tot:

    \[h_{ow} = h_{blok} \cdot \frac {\rho_{hout}} {\rho_{water}} \]

De diepte waarmee het blok dus in de vloeistof steekt is dus direct afhankelijk van de verhouding tussen de dichtheid van het drijvende materiaal en de dichtheid van de vloeistof waar het zich in bevindt. Dat heeft als consequentie dat voorwerpen met een lagere dichtheid (bijvoorbeeld een opgeblazen ballon) hoger in het water ligt als een blok hout.

Iedereen die weleens iets uit het water heeft getrokken weet dat het pas écht zwaar wordt als het voorwerp uit het water komt. Op dat moment mist de opwaartse kracht, en zul je dus zelf alle zwaartekracht op het voorwerp moeten opheffen.

Vanuit het perspectief van druk

Een andere benadering die een gelijk resultaat oplevert is de benadering vanuit druk. Hiervoor is het belangrijk om te beseffen dat de druk aan het wateroppervlak gelijk is aan de luchtdruk. Naarmate je dieper in het water komt stijgt de druk door het gewicht van de moleculen die zich erboven bevinden.

Het blok zakt tot een diepte waarbij de druk aan de onderzijde van het blok gelijk is aan de waterdruk op die diepte. Dat is logisch omdat een verschil in druk leidt tot een verschil in kracht. Een nettokracht betekent een verandering van snelheid; het water zal dus gaan stromen. Als het blok zakt stroomt het water onder het blok vandaan; als het stijgt stroomt het ernaar toe.