De omgekeerde kwadratenwet

De omgekeerde kwadratenwet geeft aan dat de ene grootheid omgekeerd evenredig is met het kwadraat van een andere grootheid. De omgekeerde kwadratenwet kom je heel (ja, heel vaak) tegen in de natuurkunde.

Wiskundig heeft dit verband de volgende algemene vorm:

    \[y=\frac 1 {x^2}\]

Voorbeeld 1: Gravitatiekracht

voorbeeld: Een twee keer zo grote afstand tussen twee massa’s betekent een 4 keer (2^2) kleinere gravitatiekracht. Een 3 keer zo grote afstand betekent een 9 (3^2) maal kleinere gravitatie.

Voorbeeld 2: Stralingsintensiteit

Een stralingsbron met vermogen P Watt hangt ergens in een ruimte. Op een afstand van 2 meter betekent dat dat deze energie wordt verdeeld over een bol met een straal van 2 meter. De bron straalt immers in gelijke mate naar alle kanten. De intensiteit I (\frac W {m^2}) geeft aan hoeveel energie er op 1 m^2 valt. In formule vorm:

    \[I=\frac P A\]

waarin A de oppervlakte is van een bol met een straal van 2 m^2. De oppervlakte van deze bol is dus A=4 \cdot \pi \cdot {2^2} = 50 {m^2}

Op een afstand van 4 meter is de oppervlakte flink groter: A=4 \cdot \pi \cdot {4^2} = 200 {m^2}.

Dus, een tweemaal zo grote straal levert een 4 maal zo groot oppervlak. Omdat dezelfde energie over een 4 maal zo groot oppervlak wordt verdeeld is de intensiteit dus 4 maal lager.

Voorbeeld 3: Geluid

Hoe verandert de geluidsintensiteit als de afstand tot de geluidsbron 3 maal zo groot wordt?

Analoog aan het voorbeeld hierboven stellen we ons twee bollen voor, de ene bol met een straal r, de andere bol met een straal 3 \cdot r. Om nu uit te rekenen hoeveel keer sterker het geluid is moet het quotient \frac {I_3r} {I_r} worden berekend.

    \[I_{3r} = \frac P {4 \cdot \pi \cdot {(3 \cdot r)^2}} \]

    \[I_{r} = \frac P {4 \cdot \pi \cdot {r^2}} \]

    \[\frac {I_{3r}} {I_r} = \frac {\frac P {4 \cdot \pi \cdot {(3 \cdot r)^2}} }{\frac P {4 \cdot \pi \cdot {r^2}}}\]

Vereenvoudigd wordt deze formule:

    \[\frac {I_{3r}} {I_r}=\frac 1 {3^2}\]

De intensiteit op een afstand 3 \cdot r is dus \frac 1 9, ofwel \frac 1 {3^2} van de intensiteit die geldt op een afstand r.